对比数值方案和解析解Fickian扩散狄利克雷和诺伊曼边界
1。介绍
分析和数值解在推导大大不同,效率,和实现。这篇文章旨在提供一个全面的对比等模型,从推导到实现,基本标准扩散模型。
假设我们有一个系统浓度扩散从一个奇点在一维物理领域,由抛物型偏微分方程建模
通常被称为菲克第二定律,扩散系数是用常数D。初始条件可以表示为
考虑到狄利克雷边界条件
以及诺伊曼边界条件
据说系统达到完成当浓度剖面在特定迭代第一次到达一个线性状态。
微分方程和边界可能是解决数学上实现有效的分析模型。然而,数值方法提供另一种近似微分方程的解决方案通过采用有限差分方案衍生品。这样的计划开发大型代数矩阵非常高效的计算机算法来解决。的数值解,我们主要关心的是显式的,隐式和Crank-Nicholson计划,来自欧拉方法。MATLAB将用于计算浓度剖面达到完成所需的时间以及提供图形化表示。的截断误差和稳定性将讨论不同方案。
2。分析解决方案
非齐次偏微分方程可以解决通过拉普拉斯变换。菲克第二定律将首先解决狄利克雷条件,其次是纽曼的条件。
2.1狄利克雷边界解决方案
当拉普拉斯变换对时间,我们到达
在哪里U代表了转换变量和浓度年代代表了时间的替代品。应用初始条件,简化了方程
和转换后的边界出现
齐次常微分方程的通解
用边界条件变成通解允许以下计算,
为
泰勒的分母的扩张让我们离散化方程,从而为拉普拉斯逆变换可行。
鉴于以下逆拉普拉斯变换身份,
在哪里误差补函数(z)代表了互补的误差函数,我们到达
2.2诺伊曼边界解决方案
当诺伊曼边界问题的解决,方法是惊人地相似,明显的异常改变了边界条件。最初的转换方程仍然存在
虽然现在显示为转换后的界限
用边界条件变成通解允许以下计算,
分母表示为离散化的泰勒级数,因此
3所示。有限差分方案
考虑到我们现有的分析模型,它可能会出现不必要的获得提供近似的数值方案而不是精确解。然而,必须指出分析方法生长逐渐徒劳的和更复杂的问题。有限差分数值方案,即对于我们的目的,必须计算和分析的高阶模型越来越复杂。以下数值分析适用于更大范围的问题比以前派生的解析解。
离散近似仅仅限制有限数量的点的数值解。因此,离散近似将导致集代数方程的某些离散的未知数,“节点”,评估。“网”是常用于可视化节点的位置,由distance-step,测量当地的相邻位置之间的距离空间,和一个时间步,测量当地的相邻迭代之间的距离。因此,金融衍生品对时间和空间可能会替换为差分方程,编写位于网格的离散值。虽然网格没有使用本文的原理应用于以下的推导和分析有限差分方案。
3.1明确的计划
关于以下数值方案、离散近似给定问题是基于不同的有限差分方案。菲克第二定律的显式方案可以通过向前欧拉方法计算。除非特别提到,假设ndistance-step和j时间步长。
因此,菲克第二定律可以被重写
在某些情况下,表达方案的矩阵向量形式更方便。转换为矩阵形式并没有给出明确的方案在计算一个重要优势。不管怎样,基本的矩阵形式给出下面但进一步阐述了隐式和Crank-Nicolson方案。
3.2隐格式
隐格式给予无条件稳定的优势,作为证明(详见4.3.2)。它可以通过向后欧拉法计算,
必须转换为矩阵形式,因为现在的值浓度耦合。
对于给定的狄利克雷条件,额外的矩阵必须添加到右边。
诺伊曼条件要求调整左边矩阵有关的系数。
新系数
必须包括在(N, N + 1)对于一个(N + 1, N + 1)矩阵。
3.3 Crank-Nicolson方案
Crank-Nicolson方案被证明是有用的,因为它能够把一个隐式方法的无条件稳定和二阶计划在时间和空间上的准确性,如(4.1.3)证明。
允许
与狄利克雷边界占以类似的方式。以前解决的简单的隐格式,诺伊曼边界系数矩阵中包含左边。
4所示。局部截断误差和差分格式的稳定
4.1局部截断误差
局部截断误差与误差的近似微分方程,计算了不同表示微分方程及其有限差分表示在一个特定的空间和时间点。从这样的计算,当地的各种不同方案的精度可以比较。
以下4.4.1局部截断误差的明确计划
泰勒的扩张许可证下面的定义,
因此,
鉴于
局部截断误差的主要部分
因此,
简化和更优雅的方法如下所示。
4.1.2当地隐格式的截断误差
泰勒的扩张提供了以下,
替代(3)、(5)和(6)到(4)产量
再一次,
和局部截断误差的主要部分
因此,我们得出相同的结果的明确的计划,
4.1.3 Crank-Nicolson计划的局部截断误差
替换(1 - 3)、(5)和(6)到(4)产量
再一次,
和主要部分的局部截断误差,
因此,这个方案的局部截断误差可以表达的
计划4.2稳定和收敛的区别
有限差分方案的稳定性各不相同。不同方案的情况下的微分方程,一个方案可能被认为是稳定的,如果不允许舍入误差的放大或轻微波动在初始数据迭代过程仍在继续。
融合可以定义为当一个离散方程方法的解析解微分方程的时间和distance-step趋近于0。收敛的数学表示如下所示。
在哪里
是固定值。
4.3冯诺依曼稳定性分析
冯·诺依曼的稳定性分析方法用于验证有限差分方案的稳定性,尤其是当应用于线性偏微分方程。舍入错误的方法可以通过分解为傅里叶级数。回想一下,菲克第二定律可能离散
允许定义的舍入误差
在哪里
代表了理想情况下的离散方程没有舍入误差和计算
代表存在舍入误差的数值解。如果
为满足离散方程,我们有什么
因此,舍入误差的变化可以表示在有限傅里叶级数
在哪里
像往常一样。的振幅误差可以认为作为一个指数函数的时候,
从差分方程中的每一项的行为是一样的系列,它是适当的表达舍入误差的增长一个任期
放大,通常称为生长因子,必须等于或小于1如果系统保持稳定。例如,
4.3.1显式方案
向前欧拉方法提供了迭代方程
自
因为
α满足不平等的最大价值是0.5。因此,明确方案条件稳定这么长时间
4.3.2隐格式
向后欧拉法提供了迭代方程
通过计算的显式非常类似,我们到达
观察,因为
总是适用。因此,隐格式是无条件稳定的。
4.3.3 Crank-Nicolson方案
再次,冯·诺依曼的分析Crank-Nicolson方案非常类似于显式的。
自
总是适用。因此,Crank-Nicolson方案是无条件稳定的。
5。数字和图形结果
5.1分析结果
计算的牛顿迭代方法允许越来越精确的近似解的解析表达式。狄利克雷和诺伊曼的解决方案,初始近似
分别使牛顿迭代方法来确定连续近似收敛到下面的解析解。
在哪里D = 1,
在哪里D = 5,
5.2计算结果
然而,通过迭代计算不同方案必须解决。下面的图表描述了以秒为单位的时间浓度达到一个线性状态。α是固定在0.5时使用不同的扩散系数值。
分析-诺伊曼边界
分析——狄利克雷边界
数值-诺伊曼边界
传说在每一次迭代时显示的时间间隔,以秒为单位。
数值——狄利克雷边界
6。结论
显式、隐式Crank-Nicolson,菲克第二定律分析解决方案产生合理的结果在我们建立边界。在有限差分方案中,明确的计划也许是最简单的,但由于其自然条件稳定面临限制。显式方案的局部截断误差的隐格式的顺序相同。虽然隐式和Crank-Nicolson计划都被证明是无条件稳定的,因此融合,Crank-Nicolson更快和更准确的高阶局部截断误差。分析解决方案,当然,收益率最高的精确度。然而,它的计算速度大大低于代数差分公式需要设置。
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