T他这篇文章的目的是讲述你通过解决两个数学问题解决的虚构的人物在1997年的奥斯卡获奖电影心灵捕手。叙事是主要基于优秀的论文数学在心灵捕手II:从学生的角度看问题霍法、Korandi和萨博(2010)。

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情节

快速总结心灵捕手告诉的故事虚构的人物会打猎,尽管他的非凡的智力是一个看门人在波士顿的麻省理工学院。在那里,他有一天发现在黑板上走廊带来的一个问题菲尔兹奖获奖教授杰拉尔德Lambeau命名。天赋异常清晰的记忆,会记下这个问题,解决了国内在浴室的镜子上betway娱乐官网波士顿南部。第二天回到麻省理工学院,他不能帮助自己,但他的解决方案提供匿名在黑板上。

当第二天没有Lambeau的学生声称信贷,教授带来了另一个更困难的问题。将再次解决,但在写作里的教授,他的解决方案的人震惊地意识到最杰出的年轻数学家在麻省理工学院是一个未受过教育的看门人。

第一个问题

问题1:考虑到图G,找到1。邻接矩阵,
2。矩阵提供的数量3步走
3所示。的生成函数散步我→j
4所示。1→3的生成函数散步

第一个问题,在图论,要求的数量走从一个顶点我到顶点j在一个图G,让G是一个图的顶点V ={1, 2, 3, 4}和边缘E ={(1、2),(1, 4),(2、4)(2、3),(2, 3)},(2、3)是一个双重优势。

解决问题1

问题1.1
鉴于图G,找到的邻接矩阵

邻接矩阵是一个方阵用来代表一个有限的图。邻接矩阵的元素L表明是否对图的顶点是相邻的。一个简单的图的顶点V邻接矩阵是一个平方L | |×L | |矩阵,其元素lᵢⱼ从顶点1有一个优势我到顶点j2当有两个零当没有边缘从顶点到顶点j。矩阵的对角元素都是零,因为从一个顶点的边缘我本身(循环)不允许简单的图表。所有步骤走沿着边缘的长度是1组E,这给了我们以下图G的邻接矩阵:

问题1.2
寻找矩阵的3步走的数量

第二个任务在问题1中要求找到的矩阵编码长度的所有可能的走3 (Knill, 2003)。也就是说,找到许多不同的序列的边缘加入每个不同的顶点序列。

一个n +1步走我来j由一个n步走的我来k然后1步走k来j。也就是说,ij条目的lⁿ⁺¹由之和:

这个问题在英语国家,“步行长度为3的顶点的数量我到j”等于之和”的数量的长度2从顶点我k”长度乘以“走的数量从顶点1kj”k= 1,2。通过矩阵乘法,一步走的长度3 i, j这给下列矩阵:

问题1.3
找到的生成函数散步我→j

第三个任务在问题1中要求从顶点生成函数我来j。要回答这个问题,霍et al(2010)认为一个幂级数解析生成函数定义为

的系数zⁿ表示数量的n步走的我来j。从任务1.3,我们发现ω_n(我→j)是ij矩阵的条目Lⁿ。问题要求同时提供所有条目的生成函数,所以它是有意义的考虑一个矩阵l由熟悉的幂级数(Horvath)等,2010):

在哪里Lⁿ是矩阵包含的数量从每个顶点一步走吗我来j(一般情况下解决问题的1.2)。和可以使用熟悉的身份进行几何计算幂级数,即:

计算的倒数(我−z×L)我们可以使用克莱姆法则。据霍et al(2010)的一个矩阵米让Mᵢⱼ表示矩阵得到米通过删除我th列和j行。如果我们这样做,我们得到的矩阵Nij条目

克莱姆法则,如果M是可逆的(存在一些n×n, n矩阵米×N=N×米=I_n),那么

也就是说,ij逆矩阵M的进入:

用于计算的逆M = (我−z×l),我们得到:

代替M:

霍et al(2010)指出,这是将解决方案在电影中,除了他的解决方案省略了这个术语(−1)^ (i + j)(可能是因为符号),他表示与1而不是更常见的单位矩阵我。

问题1.4
找到走的母函数从1→3

1.4解决任务,我们只是应用一般公式散步从我到j(从任务1.3)的情况下走从1→3:

其决定因素是微不足道的发现:

给下面的表达式,获得利用行列式的定义:

为了获得这个幂级数的系数,计算函数的泰勒级数:

对于我们的表达式f (z),我们可以使用除法法则,g (z) = 2 z²和h (z) = 4 z³−6 z²−z + 1。在电影中,将提供前6的值f (z)扩张的衍生品,这是:

第二个问题

没有将签署他的工作在黑板上为他解决第一个问题,Lambeau教授提出了第二个问题,其中他州类“花了两年多来证明”。这个问题又把树结构:

问题2
一。有许多树n标记顶点吗?
b。画出所有homomorphically不可约树n = 10

解决问题2

霍et al(2010)指出,任务2实际要求凯莱的公式对于每个正整数n树木的数量n标记顶点nⁿ⁻²。公式命名阿瑟·凯莱,但是已经知道,因为它是由卡尔·威廉发现波哈特在1860年。1889年凯莱的注意一个定理在树上季刊的纯粹与应用数学,他延长了公式,考虑到顶点的度,所以它已经生了他的名字。有几个已知的证明的结果。

最后一项任务,问题2 b要求的图纸所有homomorphically不可约的树木与n = 10。homomorphically不可约树是一个没有学位的点2。问题可能是灵感来自于纸上Homomorphically不可约的树木的数量,和其他物种Harary &王子(1959)。

我们可以组homomorphically不可约标签树的顶点1,…。、10和顶点的度d₁,…, d₁₀(Horvath)等,2010)。树有10个顶点,我们知道他们有9个边缘。我们可以分类各种树木的数量的叶子(节点/顶点顶点度1):

• 如果有9叶和1非末端,然后我们获得“明星”,一个顶点连接到每一片叶子:

• 如果有8叶和2非末端,那么d₁₂= 10 + d和d₁≥d₂≥3,所以:a) d₁= 7和d₂= 3(树),或₁= 6 b) d和d₂= 4(树),或c) d₁= d₂= 5(一棵树)。

• 如果有7的叶子,那么d₁+ d₂+ d₃= 11和d₁≥d₂≥d₃≥3,所以要么)d₁= d₂= 5和d₃= 3(两棵树),或b) d₁= 5和d₂= d₃= 3(三棵树)。

• 如果有6叶,那么d₁+ d₂+ d₃+ d₄= 3。

,总计10棵树n = 10。在黑板上在电影中,只有8出现,因为会被教授Lambeau或由于监督电影人的组成部分。

基本信息

在早期版本的心灵捕手的脚本,这个角色将是物理天才,但是谢尔登•格拉肖在哈佛建议相反,它是一个数学家,现代物理学“通常一组项目”而“做一些数学定理是一个奇异的任务经常”(伦敦,2016)。电影的数学顾问是多伦多大学的物理学教授,后期Patrick O ' donnell。

一直猜测的特点将是基于神童威廉sidi(1898 - 1944),以其杰出的数学能力。

确认

这篇文章中提供的叙事主要基于的纸数学在心灵捕手II:从学生的角度看问题霍法、Korandi和萨博(2010)。我鼓励每个人都感兴趣的阅读原始、深入可以在这里包括讨论数学的其他部分所示各种场景在整个电影。