Ramanujan论文

Hardy-Ramanujan数量1729

“我记得有一次去看他在帕特尼在他生病的时候。我乘坐出租车号码1729,说,在我看来相当枯燥,而且我希望这不是一个不利的预兆。Ramanujan回答说:“不,这是一个非常有趣的数量;这是最小的数量可榨出的两个数据集的总和在两种不同的方式。”- - -G.H.哈代(1918)

:少数Ramanujan的照片。正确的:Ramanujan的手稿。两个数据集的表示1729年的总和出现在右下角。照片三一学院图书馆。

1729两种不同的方式可表现的是两个数据集的总和是1³+ 12³³9 + 10³。已经被称为数量Hardy-Ramanujan数量,第二个所谓的“出租车数量”,定义为

出租车的数量
最小的数可以表示为两个数据集在n不同方面的总和。

到目前为止,六个出租车数量是已知的。它们是:

助教(1)= 2
= 1³³+ 1
助教(2)= 1729
= 1³+ 12³= 9³+ 10³
助教(3)= 87539319
= 167³+ 436³= 228³+ 423³= 255³+ 414³
助教(4)= 6963472309248
= 2421³+ 19083³= 5436³+ 18948³= 10200³+ 18072³= 13322³+ 16630³
助教(5)= 48988659276962496
= 38787³+ 365757³= 107839³+ 362753³= 205292³+ 342952³= 221424³+ 336588³= 231518³+ 331954³
助教(6)= 24153319581254312065344
= 582162³+ 28906206³= 28906206³+ 28894803³= 8519281³+ 28657487³= 28657487³+ 8519281³= 17492496³+ 26590452³= 17492496³+ 26224366³

数字可表现的立方体的总和在1657年被首次提及伯纳德Frenicle de贝茜属性引用的例子描述1729年在他的通讯约翰·沃利斯皮埃尔·德·费马。在1938年,哈代e·m·赖特证明这些数字存在正整数n。接下来的出租车数量,Ta(3)于1957年通过计算机约翰水蛭。随后的数字被Rosendstiel et al(1989)发现,正当Dardis(1994)和Hollerbach (2008)。数字Ta(7)的T(12)只有上界已知,波伊尔在2006年发现的。

Ramanujan的工作

众所周知,Ramanujan做他的工作在笔记本电脑与敬畏的数学家后来得到广泛的研究和历史学家。最近,除了提到1729号在上面的故事中,没有进一步的信息知道Ramanujan数量的知识。

丢番图方程

Ramanujan所做的工作涉及数字1729被发现在他的手稿在图书馆发现的三一学院,剑桥数学家小野肯和他的一个研究生,莎拉Trebat-Leder。从显示的单页是完全没有笔记,很明显,Ramanujan near-integer解决工作丢番图方程:

方程1

当他大概无意中在x = 9, y = 10。Near-integers是数字非常接近一个整数,如如罪恶(11)= -0.99999206…。在Ramanujan发现的手稿,肯小野后说:

我们坐在旁边图书馆员的办公桌,翻转页面通过Ramanujan框页面,“小野回忆说。“我们遇到这一个页面有两个表示1729(立方体的总和)。我们立即开始笑。”

顶线:数字1729由两个数据集的总和,在两个方面

这两个发现什么没有1729号本身,而是在其两个立方数和表示9³+ 10³=¹³+ 1²³,Ramanujan所遇到的调查near-integer解决上面的方程1。

费马最后定理

小野和Trebat-Leder发现是有趣的因为方程1以上,当然,是著名的方程(n = 3)费马最后定理,著名的法国数学家皮埃尔·德·费马在1637年提出的猜想:

费马最后定理
没有三个正整数a, b, c,满足的方程ⁿ+ bⁿ= cⁿ任何整数n大于2的价值。
计算Ramanujan的手稿

虽然特殊情况下研究了Ramanujan (n = 3)没有解决方案伦纳德欧拉1770年(尽管有一个很大的差距),一般情况下的n > 2仍未解的时候Ramanujan,才适合的解决方案安德鲁·怀尔斯在1994年著名的证明了这个猜想。出租车数量和费马最后定理之间的关系可以描述在以下方式:

ⁿⁿ+ bⁿ= c, n = 3。然后费马最后定理指出,不能存在一个出租车数量Ta (x)等,c =³√Ta (x)是一个整数。

欧拉丢番图方程

丢番图方程(描述near-integer解决费马最后定理)Ramanujan工作在以前研究欧拉,有时被称为欧拉丢番图方程:

方程2。欧拉丢番图方程

仍然在同一页,上面Ramanujan解决方程的例子,他给出了三个功能,随着扩张权力的x(原点)和ξ的权力(无穷)。

的手稿,这三个函数和他们在权力的扩张(x)是:

方程3.1
方程3.2
方程3.3

的系数a、b、c最初几个值n是:

n = 0:₀= 1,₀b = 2, c₀= 2
n = 1:₁= 135, b₁= 138, c₁= 172
n = 2:₂= 11161, b₂= 11468, c₂= 14258
n = 3:₃= 926271, b₃= 951690, c₃= 1183258
n = 4:₄= 76869289, b₄= 78978818, c₄= 98196140
n = 5:₅= 6379224759, b₅= 6554290188, c₅= 8149096378

三个函数及其权力的扩张ξ是:

方程4.1
方程4.2
方程4.3

的系数α,β,γ的头几个值n是:

n = 0:α₀= 9,β₀= -12,γ₀= -10
n = 1:α₁= 791,β₁= -1010,γ₁= -812
n = 2:α₂= 65601,β₂= -83802,γ₂= -67402
n = 3:α₃= 5444135,β₃= -6954572,γ₃= -5593538
n = 4:α₄= 451797561,β₄= -577145658,γ₄= -464196268
n = 5:α₅= 37493753471,β₅= -47896135058,γ₅= -38522696690

此外,Ramanujan提供了两个一般的表情,改编自欧拉丢番图方程,生成near-integer解决费马最后定理n = 3:

方程5和6。丢番图方程Ramanujan near-integer方程的解决方案³+ b³= c³

小野和Trebat-Leder发现了什么,换句话说,是Hardy-Ramanujan数字,1729年被Ramanujan称为解决方程6以上,可表现的ξ的权力的扩张系数α,β,γn = 0,即α₀= 9,β₀=−12,γ₀=−10。

Ramanujan提供near-integer解欧拉方程的丢番图方程

所以,当哈代来看Ramanujan在医院在1918年帕特尼那天,不仅Ramanujan识别号码的属性,他也知道产生无穷多的公式数字相同的属性,由上述方程5和6。很神奇的。

“每一个正整数Ramanujan的个人的一个朋友。”——g·e·Littlewood

本文是一个系列的故事的一部分数学相关话题,发表在康托尔的天堂,每周出版媒介。betway娱乐官网感谢您的阅读!

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